В настоящее время все большее значение в практической деятельности человека, а также в учебном процессе средней и высшей школы приобретают вопросы моделирования на ЭВМ. Среди всех видов моделирования (физическое, математическое, информационное (или компьютерное) и др.) одним из самых привлекательных для использования в учебном процессе представляется геометрическое (графическое). Геометрические модели получаются путем отображения реального объекта или процесса на бумаге, видеопленке, экране дисплея и т.д.

Многие математические задачи допускают геометрическое моделирование на компьютере. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1. Получить правильный n-угольник.

Математическую модель построить здесь просто. Считая точку A₀(R,0) некоторой вспомогательной окружности радиуса R за начальную, достаточно будет найти координаты остальных (равноотстоящих) точек A₁, A₂, … , A_n-1 с последовательным их соединением. Обозначив a =360⁰/n, легко получить координаты текущей точки A_i: x_i=Rcosia , y_i=Rsinia (i=1..n-1).

Заметим, что в компьютерной реализации необходимо учитывать особенности ориентации декартовой системы координат и расположения на ней точки O(0,0).

Пример 2. Вписать правильную n-конечную звезду (n=3..10) в окружность.

В этом случае достаточно нарисовать две концентрические окружности. На внешней из них следует расположить n равноотстоящих точек, а на внутренней (ее радиус определяет конфигурацию звезды) — также n равноотстоящих точек, но со сдвигом их (в отношении соответствующих внешних) на угол b =360⁰/(2n). Далее необходимо (естественно в цикле) соединить соответствующие точки для получения искомой звезды.

Пример 3. “Анимация колеса”.

Очевидно, достаточно продемонстрировать (в цикле) на экране дисплея различные (3 или более) положения колеса (для простоты с 3 спицами). При этом очевидно, что при повороте колеса (спиц), например на 30⁰, оно сдвинется на 1/12 от 2p R, т.е. примерно на R/2. Остальное — “дело техники”.

Пример 4. Вписать квадрат в данный равносторонний треугольник.

Располагая для простоты рассуждений треугольник ABC так, чтобы сторона AC была бы параллельна оси абсцисс, и, считая известными координаты точек A, B, C, можно предложить следующий прием компьютерного моделирования. Двигая с некоторым шагом точку M в направлении от точки B к точке A (или наоборот), каждый раз сравниваем длины сторон соответствующего прямоугольника, вписанного в данный треугольник (считаем, что одна из сторон прямоугольника лежит на отрезке [A,C]). (Заметим, что как известно из геометрии, координаты текущей точки M отрезка AB записываются в виде: x=sa₁+(1-s)b₁, y=sa₂+(1-s)b₂, 0£ s£ 1, где a₁, a₂ и b₁, b₂ — координаты точек A и B соответственно.) Как только обнаружится совпадение длин сторон прямоугольника (естественно, с некоторой точностью), процесс заканчивается. Найти остальные три вершины квадрата (кроме M) достаточно просто.

Подобные примеры с одной стороны способствуют реализации межпредметных связей (математики и информатики), а с другой стороны развивают навыки компьютерного моделирования.

Сервер поддерживается фирмой НПП "БИТ про" Лучшие программы для образовательного процесса