Одна из трудных проблем, решать которую приходится учителю математики в старших классах, - формализм в знаниях учащихся. Особенно заметно формализм проявляется, когда речь идет о применении начал анализа для решения задач. "Функция y=cos(x-pi/3) четна, поскольку косинус - четная функция" - рассуждения, подобные этому достаточно типичны. При традиционной методике избежать формализма в знаниях учащихся достаточно сложно. Изучая анализ, учащиеся по существу впервые (в курсе алгебры и начал анализа) сталкиваются с развернутыми доказательствами. Уровень строгости доказательств, который определяется учебными задачами и применяемой методикой, можно варьировать. Но доказательство по своей сути нормативно и строится в соответствии с достаточно жестко определенными правилами, отступление от которых не допускается.

Таким образом, исходная постановка и решение оказываются как бы разделенными неким рвом, который должен быть преодолен одним прыжком: немного "недопрыгнуть" нельзя. Используя предыдущую метафору, можно сказать, что визуализация позволяет заполнить ров и преодолеть его достаточно мелкими шагами. Если пройден не весь путь, то и в этом случае удается фиксировать продвижение к цели, т. е. определенный успех. При этом верность отдельных шагов и продвижения в целом может быть проверена визуально. По существу визуализация позволяет заместить доказательство более или менее строгим обоснованием.

Простейшее обоснование может полностью опираться на графические образы. Его уточнение и детализация в конечном итоге приводят к полноценному доказательству.

Поясним сказанное примером. Приведем три варианта решения неравенства f(x)>0, где f(x)=x^5+x^3+3x-5.

А. На чертеже видно, что f(x)>0 при x>1.

Б. По графику видно, что функция f(x) монотонно возрастает, при этом f(1)=0. Значит, f(x)>0 при x>1.

В. Покажем, что f(x) монотонно возрастает (далее следует полное решение с использованием свойств производной и квадратного трехчлена).

Замена полного доказательства обоснованием делает задачи посильными и для тех учащихся, у которых имеются серьезные пробелы в подготовке, и тех, которые просто неспособны к построению достаточно сложных доказательств. Благодаря этому удается поддерживать интерес к учебе в том числе и у слабых учащихся, существенно возрастает учебная активность обычно пассивных учащихся.

Допуская из дидактических соображений замену доказательств обоснованиями, необходимо принять определенные меры предосторожности.

В противном случае у учащихся может произойти снижение мотивации в построении полных доказательных решений (проявляющееся в вопросах типа: "Зачем нужно сложное и громоздкое решение, если и так все видно на чертеже?"). Чтобы избежать этого, нужно (в первую очередь ориентируясь на сильных учащихся) использовать примеры и задачи, в которых бездоказательная опора на "очевидное" приводит к ошибкам.

Например, если построить график y=f(x) с f(x)=x-2exp(-(x-1)^2/s^2) при s=0.01 на стандартном экране графического калькулятора, то на чертеже будет видно лишь одно решение уравнения f(x)=0. При достаточном увеличении обнаружатся еще два. Подобные задачи показывают важность аналитического обоснования "очевидных" фактов.

Сервер поддерживается фирмой НПП "БИТ про" Лучшие программы для образовательного процесса